Некоторые свойства трехмерных полиэдров Клейна

Изучаются свойства трехмерных полиэдров Клейна. Основной результат заключается в следующем. Пусть $\mathscr{L}_s(N)$ – множество целочисленных $s$-мерных решеток определителя $N$, а $f'(\Gamma,k)$ – количество таких ребер $E$ многогранников Клейна решетки $\Gamma$, что $\#(\Gamma\cap E)=k+1$ (целочисленная длина отрезка $E$ равна $k$). Тогда для любого целого $k>1$
$$ \frac{1}{\#\mathscr{L}_s(N)}\sum_{\Gamma\in \mathscr{L}_s(N)}f'(\Gamma,k)= C'_3(k)\cdot \ln^2 N+O_k(\ln N \cdot \ln\ln N), \qquad N\to \infty, $$
где $C'_3(k)$ – положительная постоянная, зависящая только от $k$, причем
$$ C'_3(k)=\frac{6}{\zeta(2)\zeta(3)}\cdot \frac{1}{k^3}+O\biggl(\frac{1}{k^4}\biggr). $$

Библиография: 39 названий.