Задача Ньютона о теле наименьшего усредненного сопротивления

Рассмотрим покоящееся тело $\Omega$ в $d$-мерном евклидовом пространстве и падающий на него с единичной скоростью $v$ однородный поток частиц. Частицы не взаимодействуют между собой и абсолютно упруго соударяются с телом. Обозначим $\mathscr R_\Omega(v)$ сопротивление тела потоку. Задача о теле наименьшего сопротивления, восходящая к Ньютону, состоит в минимизации величины $(\mathscr R_\Omega(v)\mid v)$ в некотором заданном классе тел.
Предположим, что нам заранее неизвестно направление потока $v$ или же что измерение сопротивления производится многократно, для разных значений $v$. В этих случаях представляет интерес задача минимизации усредненного значения сопротивления $\widetilde{\mathscr R}(\Omega)=\displaystyle\int_{S^{d-1}}(\mathscr R_\Omega(v)\mid v)\,dv$. Мы рассматриваем эту задачу $(\widetilde{\textrm{P}}_d)$ в классе тел единичного объема и $(\widetilde{\textrm{P}}{}_d^c)$ в классе выпуклых тел единичного объема. Для выпуклой задачи $\widetilde{\textrm{P}}{}_d^c$ решением является $d$-мерный шар. Для невыпуклой двумерной задачи $\widetilde{\textrm{P}}_2$ наименьшее значение $\widetilde{\mathscr R}(\Omega)$ определено с точностью до 0.61%. При получении этой оценки использовался результат, относящийся к задаче Монжа о переносе массы, также решенной в работе. Задача состоит в следующем: найти $\displaystyle\inf_{T\in\mathscr T}\int_\Pi{\textrm{f}}(\varphi,\tau;T(\varphi,\tau))\,d\mu(\varphi,\tau)$, где $\Pi=[-{\pi}/{2},{\pi}/{2}]\times [0,1]$, $d\mu(\varphi,\tau)=\cos\varphi\,d\varphi\,d\tau$, ${\textrm{f}}(\varphi,\tau;\varphi',\tau')=1+\cos(\varphi+\varphi')$, $\mathscr T$ – множество взаимно однозначных сохраняющих меру $\mu$ отображений $\Pi$ на себя.
Также рассматривается задача о минимизации $\overline{\mathscr R}(\Omega)=\displaystyle\int_{S^{d-1}}|\mathscr R_\Omega(v)|\,dv$. Полученные решение выпуклой задачи $\overline{\textrm{P}}{}_d^c$ и оценка для невыпуклой двумерной задачи $\overline{\textrm{P}}_2$ такие же, как для задач $\widetilde{\textrm{P}}{}_d^c$ и $\widetilde{\textrm{P}}_2$.
Библиография: 17 названий.