О геометрии гладкой модели расслоенного произведения семейств K3 поверхностей

Доказана гипотеза Ходжа об алгебраических циклах для гладкой проективной модели $X$ расслоенного произведения $X_1\times_C X_2$ неизотривиальных 1-параметрических семейств K3 поверхностей (возможно, с вырождениями) $X_{k}\to C$ ($k=1,2$) над гладкой проективной кривой $C$ при условии, что для общих геометрических слоев $X_{1s}$, $X_{2s}$ кольцо $\operatorname{End}_{\mathrm{Hg}(X_{1s})}\operatorname{NS}_{\mathrm Q}(X_{1s})^{\perp}$ – мнимое квадратичное поле, $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_{1s})\neq 18$, $\operatorname{End}_{\mathrm{Hg}(X_{2s})}\operatorname{NS}_{\mathbb Q}(X_{2s})^{\perp}$ – вполне вещественное поле или $\operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_{1s}) < \operatorname{rank}\operatorname{NS}(X_{2s})$.
Библиография: 10 названий.