Об одном семействе систем Никишина с периодическими рекуррентными коэффициентами

Пусть задана система Никишина из $p$ мер и $k$-я порождающая мера системы Никишина имеет носитель на интервале $\Delta_k\subset\mathbb R$, где $\Delta_k\cap\Delta_{k+1}=\varnothing$ для каждого $k$. Хорошо известно, что соответствующая лестничная последовательность совместно ортогональных многочленов удовлетворяет $(p+2)$-членному рекуррентному соотношению, у коэффициентов которого при определенных условиях на порождающие меры есть периодические пределы c периодом $p$ (эти пределы зависят только от расположения интервалов $\Delta_k$). Рассматривая эти периодические предельные значения как коэффициенты нового $(p+2)$-членного рекуррентного соотношения, можно построить каноническую последовательность полиномов $\{P_{n}\}_{n=0}^{\infty}$ со старшим коэффициентом 1, так называемые полиномы Чебышёва–Никишина. Показано, что полиномы $P_{n}$ сами образуют последовательность совместно ортогональных многочленов по некоторой никишинской системе мер, в которой $k$-я порождающая мера абсолютно непрерывна на $\Delta_{k}$. Тем самым, обобщается результат, полученный для $p=2$ третьим автором совместно с Рохой в [1]. Доказательство использует связи с блочными матрицами Тёплица и с некоторой римановой поверхностью рода нуль. Также получены сильная асимптотика и точная формула типа Видома для функций второго рода для системы Никишина, соответствующей $\{P_{n}\}_{n=0}^{\infty}$.
Библиография: 27 названий.