Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте

Пусть $F_{2,m}$ – свободное $2$-порожденное ассоциативное кольцо с тождеством $x^m=0$. В 1993 г. Е. И. Зельманов поставил вопрос об экспоненциальности роста класса нильпотентности кольца $F_{2,m}$ по $m$.
Мы отвечаем на вопрос Е. И. Зельманова, установив, что в $l$-порожденной ассоциативной алгебре с тождеством $x^d=0$ класс нильпотентности меньше, чем $\Psi(d,d,l)$, где
$$ \Psi(n,d,l)=2^{18}l(nd)^{3\log_3(nd)+13}d^2. $$
Данный результат является следствием следующего факта, относящегося к комбинаторике слов. Пусть $l$, $n$ и $d\geqslant n$ – некоторые натуральные числа. Тогда все слова над $l$-буквенным алфавитом длины не меньше, чем $\Psi(n,d,l)$, либо содержат $x^d$, либо являются $n$-разбиваемыми, где слово $W$ называется $n$-разбиваемым, если его можно представить в виде $W=W_0W_1\dotsb W_n$ так, что подслова $W_1,\dots,W_n$ идут в порядке лексикографического убывания. В доказательстве используется теорема Дилуорса (идея В. Н. Латышева). Мы показываем, что множество всех не $n$-разбиваемых слов над $l$-буквенным алфавитом имеет высоту $h<\Phi(n,l)$ над множеством слов степени не выше $n-1$, где
$$ \Phi(n,l)=2^{87}l\cdot n^{12\log_3n+48}. $$

Библиография: 40 названий.