Об ограниченных решениях одного класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматривается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение вида
\begin{equation} -\psi''(x)+\biggl(1+\frac c{x^2}\biggr)\psi(x)= \frac1{x^\alpha}|\psi(x)|^{k-1}\psi(x), \qquad x>0, \tag{1} \end{equation}
где $k$, $\alpha$ – положительные параметры, $k>1$, $c$ – постоянная, с краевыми условиями
\begin{equation} \psi(0)=0, \qquad \psi(+\infty)=0. \tag{2} \end{equation}
С применением вариационного подхода, основанного на нахождении собственных функций градиента функционала $F_{k,\alpha}(f)=\displaystyle\int_0^{+\infty}|f(s)|^{k+1}s^{-\alpha}\,ds$ в пространстве абсолютно непрерывных функций $H_0^1=\{f:f,f'\in L_2(0,+\infty),\ f(0)=0\}$, доказано, что если $c>-1/4$, $k>1$, $0<2\alpha<k+3$, то существует счетное число ненулевых решений задачи (1), (2), среди которых есть положительное. Для ненулевых решений выведены асимптотические формулы при $x\to0$ и $x\to+\infty$.
Библиография: 7 названий.