Об абсолютно непрерывных слабо перемешивающих коциклах над иррациональными поворотами окружности

Слабо перемешивающим коциклом над поворотом $\alpha$ называется измеримая функция $\varphi\colon S^1\to S^1$, где $S^1=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$, такая, что ни для каких $n\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ и $c\in\mathbb C$, $|c|=1$, уравнение
\begin{equation} \varphi^n(z)=c\frac{h(\exp(2\pi i\alpha)z)}{h(z)} \quad\text{для \ п.в.\ \ } z \tag{1} \end{equation}
не имеет измеримого решения $h(\,\cdot\,)\colon S^1\to S^1$.
В случае, когда иррациональное число $\alpha$ имеет ограниченные неполные частные своего разложения в непрерывную дробь, доказано существование слабо перемешивающего коцикла вида $\varphi(\exp(2\pi ix))=\exp(2\pi i\widetilde\varphi(x))$, где $\widetilde\varphi\colon\mathbb T\to\mathbb R$ – функция класса $W^1(M(L)(\mathbb T))$, а $M(y)$ растет медленнее, чем $y\ln^{1/2}y$, и установлена разрешимость уравнения (1) (а также его аддитивного аналога), если $\widetilde\varphi\in W^1(L\log_+^{1/2}L(\mathbb T))$.
Библиография: 20 названий.