Смешанные ряды по ультрасферическим полиномам и их аппроксимативные свойства

В статье вводятся новые (смешанные) ряды по ультрасферическим полиномам $P_n^{\alpha,\alpha}(x)$. Принципиальное отличие смешанного ряда по полиномам $P_n^{\alpha,\alpha}(x)$ от ряда Фурье по этим же полиномам состоит в том, что смешанный ряд составляется из членов вида $\dfrac{2^rf_{r,k}^\alpha}{(k+2\alpha)^{[r]}}P_{k+r}^{\alpha-r,\alpha-r}(x)$, где $1\leqslant r$ – целое, $f_{r,k}^\alpha$ – $k$-й коэффициент Фурье производной $f^{(r)}(x)$ по ультрасферическим полиномам $P_k^{\alpha,\alpha}(x)$. Показано, что частичные суммы ${\mathscr Y}_{n+2r}^\alpha(f,x)$ смешанного ряда по полиномам $P_k^{\alpha,\alpha}(x)$ выгодно отличаются от сумм Фурье $S_n^\alpha(f,x)$ по тем же полиномам по своим аппроксимативным свойствам на классах дифференцируемых и аналитических функций, а также на классах функций переменной гладкости. В частности, ${\mathscr Y}_{n+2r}^\alpha(f,x)$ могут быть использованы для одновременного приближения функции $f(x)$ и ее производных до $(r- 1)$-го порядка, тогда как $S_n^\alpha(f,x)$ для этой цели не подходят.
Библиография: 10 названий.