О покрытии плоских множеств

Исследованы задачи, связанные с классической проблемой Борсука о разбиении множеств в евклидовом пространстве на части меньшего диаметра, а также с известной задачей Нелсона–Хадвигера о хроматическом числе евклидова пространства. Получены новые оценки величин $d_n=\sup d_n(\Phi)$ и $d'_n=\sup d'_n(\Phi)$, где супремумы берутся по всем множествам единичного диаметра на плоскости, а величины $d_n(\Phi)$ и $d'_n(\Phi)$ для данного ограниченного множества $\Phi\subset\mathbb{R}^2$ определяются следующим образом:
\begin{align*} d_n(\Phi)&=\inf\{x\in\mathbb{R}^+:\Phi\subseteq \Phi_1\cup\dots\cup\Phi_n,\,\forall\, i\ \operatorname{diam}\Phi_i\le x\}, \\ d'_n(\Phi)&=\inf\{x\in\mathbb{R}^+:\Phi\subseteq \Phi_1\cup\dots\cup\Phi_n,\,\forall\, i\ \forall\, X,Y\in\Phi_i\, \ XY\ne x\}, \end{align*}
где $\Phi_i\subset\mathbb R^2$ – некоторые множества, $\operatorname{diam}\Phi_i$ – диаметр $\Phi_i$, $XY$ – расстояние между точками $X$ и $Y$, $n\in \mathbb N$. Полученные оценки для $d_n$ являются более точными, чем известные ранее оценки; величины $d_n$ рассматриваются в настоящей работе впервые.
Библиография: 19 названий.