Характеризация векторных классов Адамара в терминах наименьших уклонений их элементов от векторов конечной степени

Пусть линейный оператор $A$ действует в комплексном банаховом пространстве $X$ с областью определения $\mathfrak D(A)$. Элемент $g\in\mathfrak D_\infty(A):=\bigcap_{j=0}^\infty\mathfrak D(A^j)$ назовем вектором степени не выше $\xi$ $(>0)$ относительно $A$, если $\|A^jg\|\leqslant c(g)\xi^j$, $j=0,1,\dots$ . Множество векторов степени не выше $\xi$ обозначим через $\mathfrak G_\xi(A)$, а наименьшее уклонение элемента $f$ из $X$ от множества $\mathfrak G_\xi(A)$ – через $E_\xi(f,A)$. По последовательности положительных чисел $\{\psi_j\}_{j=1}^\infty$ зададим функцию $\gamma(\xi):=\min_{j=1,2,\dots}(\xi\psi_j)^{1/j}$. В работе найдены достаточные условия относительно последовательности $\{\psi_j\}_{j=1}^\infty$ и оператора $A$, при которых для векторов $f\in\mathfrak D_\infty(A)$ справедлива формула
$$ \limsup_{j\to\infty}\biggl(\frac{\|A^jf\|}{\psi_j}\biggr)^{1/j}=\limsup_{\xi\to\infty}\frac\xi{\gamma(E_\xi(f,A)^{-1})}\,. $$
В случае если величина, находящаяся в левой части этой формулы, конечна, то $f$ принадлежит {\it классу Адамара{,} заданному по оператору $A$ и последовательности} $\{\psi_j\}_{j=1}^\infty$. Из приведенной формулы следует, например, формула для вычисления в терминах $E_\xi(f,A)$ радиуса голоморфности векторнозначной функции $F(zA)f$, где $f\in\mathfrak D_\infty(A)$, а $F(z):=\sum_{j=1}^\infty z^j/\psi_j$ – целая функция.
Библиография: 35 названий.