Сплайн-тригонометрические базисы и их свойства

Построено семейство пар биортонормированных систем такое, что для любого $p\in (1,\infty )$ одна из этих систем – базис пространства $L_p(a,b)$, а другая – двойственный базис в $L_q(a,b)$ (здесь $1/p+1/q=1$). Функции первой системы – произведения тригонометрических и алгебраических полиномов, функции второй системы – произведения тригонометрических многочленов и производных $B$-сплайнов. Исследовано асимптотическое поведение функций Лебега построенных систем. В частности, показано, что главные члены поточечных асимптотических разложений функций Лебега всюду (кроме некоторых особых точек) имеют вид $4/\pi ^2\ln n$ (т.е. такой же, как и для случая ортонормированной тригонометрической системы). Получены интерполяционные представления с кратными узлами для целых функций экспоненциального типа $\sigma $. В этих формулах используется равномерная сетка узлов, однако в отличие от теоремы Котельникова, где шаг сетки равен $\pi /\sigma $ и уменьшается с ростом типа целой функции, в полученных представлениях узлы интерполяции могут быть зафиксированы и не зависеть от $\sigma $, а кратность этих узлов возрастает с увеличением типа интерполируемой функции. Одно из возможных применений таких представлений (и особенно их многомерных аналогов) состоит в конструктивном построении обладающих асимптотической оптимальностью методов аппроксимации с помощью масштабирования и сдвигов аргумента фиксированной функции (всплески, проекционно-сеточные методы и т.п.).
Библиография: 11 названий.