О сбалансированных системах идемпотентов

Сбалансированным базисом ассоциативной полупростой конечномерной над полем комплексных чисел $\mathbb C$ алгебры называется система идемпотентов $\{e_i\}$, образующая линейный базис и такая, что $\operatorname {Tr}e_i$ и $\operatorname {Tr}e_ie_j$ не зависят от $i$, $j$, $i\ne j$, где $\operatorname {Tr}$ – след регулярного представления алгебры. В статье строятся сбалансированные базисы в алгебре матриц $\mathrm {M}_{p^n}(\mathbb C)$, $p$ нечетное простое. Для алгебр матриц такие базисы до сих пор были известны лишь в случае $\mathrm {M}_2(\mathbb C)$ и $\mathrm {M}_3(\mathbb C)$. Доказывается несуществование сбалансированных базисов определенных рангов, обладающих регулярной элементарной абелевой 2-группой автоморфизмов, в алгебрах $\mathrm {M}_{2^n}(\mathbb C)$, $n>1$. Кроме того, классифицируются сбалансированные 1-системы из $n+1$ идемпотента ранга $r$ в алгебре $\mathrm {M}_{rn}(\mathbb C)$.
Библиография: 8 названий.