Аналоги теорем Чернова и Ли–Троттера

Изучается абстрактная задача Коши $\dot x=\mathrm{A}x$, $x(0)=x_0\in\mathscr{D}(\mathrm{A})$ для линейных плотно определенных операторов $\mathrm{A}$ в банаховом пространстве $\mathbf X$. Доказано, что решение $x(\,\cdot\,)$ этой задачи может быть представлено в виде предела $\lim_{n\to\infty}\{\mathrm F(t/n)^nx_0\}$ в слабой топологии $\sigma(\mathrm{X},\mathrm{X}^*)$, где функция $\mathrm F\colon[0,\infty)\mapsto\mathscr L(\mathrm X)$ удовлетворяет равенству $\mathrm F'(0)y=\mathrm{A}y$, $y\in\mathscr{D}(\mathrm{A})$, для естественного класса операторов. В отличие от теоремы Чернова здесь не предполагается существование глобального решения задачи Коши. На основе этого результата найдены необходимые и достаточные условия того, что линейный оператор $\mathrm{C}$ замыкаем и его замыкание является генератором $C_0$-полугруппы. Получены новые критерии того, что сумма двух генераторов $C_0$-полугрупп является генератором $C_0$-полугруппы и при этом выполняется формула Ли–Троттера.
Библиография: 13 названий.