О повышенной суммируемости градиента решений эллиптических уравнений с переменным показателем нелинейности

Изучаются эллиптические уравнения типа $p(x)$-лапласиана. Хорошо известно логарифмическое условие на модуль непрерывности показателя нелинейности $p(x)$, при котором лапласиан переменного порядка нелинейности наследует многие свойства обычного $p$-лапласиана постоянного порядка. Среди них – так называемое свойство повышенной суммируемости градиента решения. В настоящей работе установлено, что это свойство сохраняется при некотором более общем условии на показатель $p(x)$, но повышение суммируемости оказывается не степенного, а логарифмического характера. В основе предложенного метода лежит новое обобщение леммы Геринга, в котором исходным является обратное неравенство Гёльдера “с увеличенными носителем и показателем в правой части”. Построен контрпример, показывающий, насколько точно найденное условие на модуль непрерывности.
Библиография: 28 названий.