О базисности системы полиномов Лежандра в пространстве Лебега $L^{p(x)}(-1,1)$ с переменным показателем $p(x)$

Рассмотрена задача о нахождении условий на переменный показатель $p=p(x)$, при соблюдении которых система ортонормированных полиномов Лежандра $\{\widehat P_n(x)\}_{n=0}^\infty$ является базисом нормированного пространства Лебега $L^{p(x)}(-1,1)$ с нормой
$$ \|f\|_{p(\,\cdot\,)}=\inf\biggl\{\alpha>0: \int_{-1}^1\biggl|{\frac{f(x)}{\alpha}}\biggr|^{p(x)}\,dx \le1\biggr\}. $$
Найдены в определенном смысле окончательные условия на $p=p(x)$ при $x\in [-1,1]$, которые гарантируют базисность системы $\{\widehat P_n(x)\}_{n=0}^\infty$ в $L^{p(x)}(-1,1)$.
Библиография: 31 название.