|
Математический сборник, 1995, том 186, номер 6, страницы 77–108
(Mi sm46)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 13 научных статьях (всего в 13 статьях)
Необходимые и достаточные условия в теоремах полунепрерывности и сходимости с функционалом
М. А. Сычев Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Аннотация:
Для функционала
$$
{\mathfrak I}(u(x),\xi (x))=\int _\Omega L(x,u(x),\xi (x))\,dx
$$
($L(x,u,v)\colon{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^q\times{\mathbb R}^l\to{\mathbb R}$ удовлетворяет условию Каратеодори и $L(x,u,v)\geqslant-\alpha(|u|+|v|)+\beta$, $\alpha>0$, $\beta\in{\mathbb R}$) доказано:
1) функционал ${\mathfrak I}(u(x),\xi(x))$
полунепрерывен снизу на фиксированной паре функций
$(u_0(x),\xi_0(x))$ $({\mathfrak I}(u_0(x),\xi_0(x))<\infty)$
относительно сходимости $u_k(x)$ к $u_0(x)$ в $L_1$ и слабой сходимости в $L_1$
$\xi_k(x)$ к $\xi_0(x)$ в том и только том случае, когда для п.в. $x\in\Omega$ функция
$L(x,u_0(x),v)$ выпукла в точке $v=\xi_0(x)$;
2) из сильной сходимости $u_k(x)$ к $u_0(x)$ в $L_1$, слабой сходимости $\xi_k(x)$
к $\xi _0(x)$ в $L_1$ и сходимости значений функционала ${\mathfrak I}(u_k,\xi_k)$
к ${\mathfrak I}(u_0,\xi_0)<\infty$ вытекает сильная сходимость $\xi _k(x)$
к $\xi_0(x)$, если и только если для п.в. $x\in\Omega$ функция $L(x,u_0(x),v)$ строго выпукла в точке $v=\xi_0(x)$.
Аналогичные результаты получены для задач с ограничениями на область значений функций $\xi_k(x)$ и в градиентном скалярном случае: $l=nq$,
$\min\{n,q\}=1$, $\xi(x)=\nabla u(x)$.
Библиография: 35 названий.
Поступила в редакцию: 12.07.1993 и 18.01.1995
Образец цитирования:
М. А. Сычев, “Необходимые и достаточные условия в теоремах полунепрерывности и сходимости с функционалом”, Матем. сб., 186:6 (1995), 77–108; M. A. Sychev, “Necessary and sufficient conditions in semicontinuity and convergence theorems with a functional”, Sb. Math., 186:6 (1995), 847–878
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm46 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v186/i6/p77
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 476 | PDF русской версии: | 125 | PDF английской версии: | 18 | Список литературы: | 75 | Первая страница: | 2 |
|