Необходимые и достаточные условия в теоремах полунепрерывности и сходимости с функционалом

Для функционала
$$ {\mathfrak I}(u(x),\xi (x))=\int _\Omega L(x,u(x),\xi (x))\,dx $$
($L(x,u,v)\colon{\mathbb R}^n\times{\mathbb R}^q\times{\mathbb R}^l\to{\mathbb R}$ удовлетворяет условию Каратеодори и $L(x,u,v)\geqslant-\alpha(|u|+|v|)+\beta$, $\alpha>0$, $\beta\in{\mathbb R}$) доказано:
1) функционал ${\mathfrak I}(u(x),\xi(x))$ полунепрерывен снизу на фиксированной паре функций $(u_0(x),\xi_0(x))$ $({\mathfrak I}(u_0(x),\xi_0(x))<\infty)$ относительно сходимости $u_k(x)$ к $u_0(x)$ в $L_1$ и слабой сходимости в $L_1$ $\xi_k(x)$ к $\xi_0(x)$ в том и только том случае, когда для п.в. $x\in\Omega$ функция $L(x,u_0(x),v)$ выпукла в точке $v=\xi_0(x)$;
2) из сильной сходимости $u_k(x)$ к $u_0(x)$ в $L_1$, слабой сходимости $\xi_k(x)$ к $\xi _0(x)$ в $L_1$ и сходимости значений функционала ${\mathfrak I}(u_k,\xi_k)$ к ${\mathfrak I}(u_0,\xi_0)<\infty$ вытекает сильная сходимость $\xi _k(x)$ к $\xi_0(x)$, если и только если для п.в. $x\in\Omega$ функция $L(x,u_0(x),v)$ строго выпукла в точке $v=\xi_0(x)$.
Аналогичные результаты получены для задач с ограничениями на область значений функций $\xi_k(x)$ и в градиентном скалярном случае: $l=nq$, $\min\{n,q\}=1$, $\xi(x)=\nabla u(x)$.
Библиография: 35 названий.