Регулярный аттрактор нелинейной эллиптической системы в цилиндрической области

В полуцилиндре $\Omega_+=\mathbb R_+\times\omega$, $\omega\subset\mathbb R^n$, рассматривается система эллиптических уравнений второго порядка
\begin{equation} a(\partial_t^2u+\Delta_xu)-\gamma\partial_tu-f(u)=g(t), \quad u\big|_{\partial\omega}=0, \enskip u\big|_{t=0}=u_0, \enskip (t,x)\in\Omega _+, \tag{1} \end{equation}
где $u=(u^1,\dots,u^k)$ – неизвестная векторная функция, $a$ и $\gamma$ – заданные положительно определенные самосопряженные $(k\times k)$-матрицы, $f$ и $g(t)=g(t,x)$ – заданные функции. При выполнении некоторых естественных условий на матрицы $a$, $\gamma$, нелинейную функцию $f$ и правую часть $g$ доказано, что краевая задача (1) имеет единственное решение, принадлежащее пространству $W^{2,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega_+,\mathbb R^k)$, $p>(n+1)/2$, и ограниченное при $t\to\infty$. Кроме того, доказано, что в классе таких решений задача (1) эквивалентна некоторой эволюционной задаче в пространстве “начальных” условий $u_0\in V_0\equiv\operatorname{Tr}_{t=0}W^{2,p}_{\mathrm{loc}}(\Omega_+,\mathbb R^k)$. В потенциальном случае $(f=\nabla _x P$, $g(t,x)\equiv g(x))$ показано, что полугруппа $S_t\colon V_0\to V_0$, порождаемая задачей (1), обладает аттрактором в пространстве $V_0$, который в случае общего положения представляется в виде конечного объединения конечномерных неустойчивых многообразий $\mathscr M^+(z_i)$, соответствующих стационарным точкам $z_i$ полугруппы $S_t$ $(S_tz_i=z_i)$. Кроме того, получена явная формула для вычисления размерностей этих многообразий.
Библиография: 20 названий.