Метод орбитальных сумм в теории модулярных векторных инвариантов

Пусть $F$ – произвольное поле, $V$ – конечномерное векторное пространство над полем $F$, $G\leqslant\operatorname{GL}_F(V)$ – конечная группа и $V^m=V\oplus\dots\oplus V$ – прямая сумма $m$ копий пространства $V$ с диагональным действием на ней группы $G$. Группа $G$ естественным образом действует на градуированной симметрической алгебре $A_m=F[V^m]$ как группа невырожденных линейных преобразований переменных. Пусть $A_m^G$ – подалгебра инвариантов полиномиальной алгебры $A_m$ относительно действия группы $G$. Классический результат Нётер [1] гласит, что если $\operatorname{char}F=0$, то $F$-алгебра $A_m^G$ порождается однородными многочленами степени не выше $|G|$ независимо от того, как велико $m$. С другой стороны, из работ Ричмана [2], [3] следует, что указанный результат неверен в случае, когда характеристика поля $F$ положительна и делит порядок $|G|$ группы $G$. Пусть $p>2$ – простое число, $F=F_p$ – конечное поле из $p$ элементов, $V$ – линейное пространство размерности $n$ над полем $F_p$ и $H\leqslant\operatorname{GL}_{F_p}(V)$ – циклическая группа порядка $p$, порожденная матрицей $\gamma$ некоторого специального вида. В настоящей работе дается явная конструкция (теорема 1) одной из полных систем порождающих элементов алгебры $A_m^H$. Затем для произвольной полной системы порождающих элементов этой алгебры указывается нижняя граница для наибольшей степени входящих в эту систему многочленов. Это приводит к существенному обобщению соответствующего результата Кэмпбелла и Хагеса [4], полученного авторами в весьма частном случае, когда $n=2$. В качестве следствия доказывается (теорема 3), что если $m>n$ и $G\geqslant H$ – произвольная конечная группа, то каждая полная система порождающих элементов алгебры $A_m^G$ содержит по меньшей мере один многочлен степени не ниже чем $2(m-n+2r)(p-1)/r$, где $r=r(H)$ – некоторое положительное целое число, зависящее от структуры порождающей матрицы $\gamma$ группы $H$. Этот результат существенно улучшает нижнюю границу, полученную ранее Ричманом [3].
Библиография: 13 названий.