Представление субгармонических функций в полуплоскости

Теория субгармонических функций конечного порядка в значительной мере опирается на интегральные формулы. В настоящей статье получены представления для субгармонических функций в верхней полуплоскости более общего роста $\gamma(r)$, чем конечный порядок. Основной результат работы можно сформулировать следующим образом. Пусть функция роста $\gamma(r)$ такова, что либо функция $\ln\gamma(r)$ выпукла относительно $\ln r$, либо нижний порядок функции $\gamma(r)$ равен бесконечности. Тогда для любой истинно субгармонической функции $v$ роста $\gamma(r)$ существуют неограниченное множество $\mathbf R$ положительных чисел и семейство $\{u_R:R\in\mathbf R\}$ функций, истинно субгармонических в верхней полуплоскости $\mathbb{C}_+$, такие, что

• 1) полные меры функций $u_R$ в круге $|z|\leq R$ совпадают с полной мерой функции $v$;
• 2) $v-u_R\rightrightarrows0$ равномерно на компактах в $\mathbb{C}_+$, когда $R\to\infty$, $R\in\mathbf R$;
• 3) семейство функций $\{u_R:R\in\mathbf R\}$ равномерно по $R$ удовлетворяет ограничениям на рост, т.е. $T(r,u_R)\leq A\gamma(Br)/r$, где $A$ и $B$ – константы, а $T(r,\,\cdot\,)$ – характеристика роста.

Библиография: 16 названий.