Оценки картановского типа для потенциалов с ядром Коши и с действительными ядрами

Пусть $\nu$ – (комплексная) мера Радона в $\mathbb C$ с компактным носителем и конечной вариацией, и пусть
$$ \mathscr C_*\nu(z)=\sup_{\varepsilon>0}\biggl|\int_{|\zeta-z|>\varepsilon}\frac{d\nu(\zeta)}{\zeta-z}\biggr| $$
– максимальное преобразование Коши. Получены оценки $h$-обхвата по Хаусдорфу множества $\mathscr Z^*(\nu,P)=\bigl\{z\in\mathbb C:\mathscr C_*\nu(z)>P\bigr\}$, где $h$ – измеряющая функция и $P>0$ – заданное число. Показано, что эти оценки неулучшаемы с точностью до значений входящих в них абсолютных постоянных. Аналогичная задача рассмотрена также для потенциалов с произвольными действительными невозрастающими ядрами и положительными мерами в $\mathbb R^m$, $m\geqslant1$. В качестве приложения развитого аппарата получены результаты о связи аналитической емкости и меры Хаусдорфа (в частности, аналог теоремы Фростмана о классических емкостях).
Библиография: 37 названий.