О приближении функций нескольких комплексных переменных полиномами на толстых компактных подмножествах пространства $\mathbf C^n$

Если $J\subset\mathbf C^n$ – компактное множество, то через $P(J)$ обозначим алгебру всех функций, заданных на $J$, допускающих равномерную (на $J$) аппроксимацию многочленами от $n$ комплексных переменных, а через $A(J)$ – алгебру всех непрерывных на $J$ функций, аналитических во внутренних точках множества $J$. Компактное подмножество $J$ пространства $\mathbf C^n$ будем называть толстым, если оно является замыканием открытого множества.
В работе рассматривается задача приближения функций нескольких комплексных переменных полиномами на толстых компактных множествах со связной внутренностью. Доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Существует толстое компактное полиномиально выпуклое $($голоморфно$)$ стягиваемое подмножество $J$ пространства $\mathbf C^2$ с внутренностью, гомеоморфной открытому четырехмерному шару, и такое, что $P(J)\ne A(J)$.
Теорема 2. Существует толстое компактное полиномиально выпуклое стягиваемое подмножество $J$ пространства $\mathbf C^3$ с внутренностью, гомеоморфной открытому шестимерному шару, и такое, что $P(J)\ne A(J)$, хотя минимальные границы алгебр $P(J)$ и $A(J)$ совпадают.
Библиография: 15 названий.