Формула коммутации $h^{-1}$-псевдодифференциального оператора с быстро осциллирующей экспонентой в случае комплексной фазы

В работе рассматривается действие оператора $a\bigl(x_1-ih\frac\partial{\partial x}\bigr)u\overset{\mathrm{def}}=\int a(x,h\xi)\times\exp i(x\xi)\widetilde u(\xi)\,d\xi$ на функции вида $\exp\bigl(\frac{iS}h\bigr)\varphi(x)=u(x)$, где $\varphi\in C^\infty_0(\mathbf R^n)$, $S\in C^\infty(\mathbf R^n)$. В частности, при условии $S(x,h)=S(x)$, $\operatorname{im}S(x)\geqslant0$, получена формула
$$ a\biggl(x_1-ih\frac\partial{\partial x}\biggr)\exp\biggl(-\frac{iS}h\biggr)\varphi=\exp\biggl(\frac{iS}h\biggr)\sum^N_{j=0}h^jL_j\varphi+O(h^{N+1}). $$
Доказано, что дифференциальные операторы $L_j$ для случая $\operatorname{im}S\not\equiv0$ получаются из аналогичных дифференциальных операторов для случая $\operatorname{im}S\equiv0$ посредством “почти аналитического продолжения” по аргументам $S',S'',\dots,S^{(k)}$.
Библиография: 12 названий.