Решение обобщенной задачи Сен-Венана

Исследуется хорошо известная задача математической теории упругости относительно жесткости кручения $P(\Omega)$ балки с поперечным сечением $\Omega$ для произвольных односвязных областей $\Omega$. Мы показываем, что $P(\Omega)$ эквивалентна моменту инерции области относительно своей границы. Таким образом, путем новой интерпретации известной формулы Кулона мы даем положительное решение задачи, возникшей в работах Коши и Сен-Венана: найти геометрический параметр, эквивалентный коэффициенту жесткости кручения упругих балок с односвязными сечениями.
Доказательство основывается на определении жесткости кручения как квадрата нормы некоторого оператора вложения в пространстве Соболева и на теории конформных отображений. В частности, мы доказываем некоторые онформно-инвариантные неравенства.
Библиография: 19 названий.