Оценка кривизны трехмерной развертки

Рассматриваются компактные трехмерные развертки положительной кривизны с выпуклой границей и устанавливаются неравенства, связывающие их интегральные характеристики: объем $V$, площадь границы $S$, интегральную среднюю кривизну границы $H$, радиус вписанного шара $r$, интегральную внутреннюю кривизну $\Omega$. Последняя характеристика является “мерой неевклидовости” развертки рассматриваемого типа: $\Omega=0$ тогда и только тогда, когда развертка локально евклидова. Из полученных неравенств, в частности, следует
$$ 2\pi\chi r\leqslant H+\Omega, $$
где $\chi$ – эйлерова характеристика границы развертки.
Для развертки, гомеоморфной шару, $\chi=2$, так что $r\leqslant\frac{H+\Omega}{4\pi}$, $V\leqslant Sr\leqslant\frac{H+\Omega}{4\pi}$. Равенство в оценке $r\leqslant\frac{H+\Omega}{4\pi}$ достигается на евклидовом шаре: для него $\Omega=0$ и $r=\frac H{4\pi}$.
Рисунков: 6.
Библиография: 2 названия.