О краевой задаче Неймана в области со сложной границей

Рассматривается вторая краевая задача для уравнения Гельмгольца в области $G^{(n)}$, являющейся дополнением к сильно изрезанному множеству $F^{(n)}$, лежащему в некоторой окрестности фиксированной поверхности$\Gamma$.
Для приближенного описания решения $u^{(n)}(x)$ такой задачи изучается асимптотическое поведение последовательности решений $\{u^{(n)}(x),n=1,2,\dots\}$, соответствующих последовательности множеств $\{F^{(n)}\}$, когда $F^{(n)}$ при $n\to\infty$ неограниченно приближаются к $\Gamma$ и становятся все более изрезанными.
Для характеристики множеств $F^{(n)}$ введено понятие проводимости. Найдены необходимые и достаточные условия (формулируемые в терминах проводимости), при которых последовательность $\{u^{(n)}(x)\}$ при $n\to\infty$ сходится к функции $v(x)$, удовлетворяющей всюду вне $\Gamma$ тому же уравнению, а на $\Gamma$ условиям сопряжения вида
$$ \biggl(\frac{\partial v}{\partial\nu}\biggr)_+=\biggl(\frac{\partial v}{\partial\nu}\biggr)_-=p(x)[v_+-v_-], $$
где знаками $+$ и $-$ отмечены предельные значения функции с разных сторон от $\Gamma$; $\nu$ – нормаль к $\Gamma$.
Рисунков: 1.
Библиография: 7 названий.