Некоторые интегральные оценки для трехмерных разверток

Рассматриваются гомеоморфные шару трехмерные развертки положительной кривизны с выпуклой границей. Для этих разверток естественным образом определяется радиус $r$ вписанного шара и интегральная средняя кривизна $H$ границы. Основной результат состоит в доказательстве оценок
$$ V\geqslant\frac13Sr,\quad r\leqslant\frac SH,\quad D<\frac{2S}H+d,\quad V\leqslant Sr,\quad V\leqslant\frac{S^2}H, $$
где $V$ – объем развертки, $D$ – диаметр, $S$ – площадь границы, $d$ – внутренний диаметр границы.
Попутно исследуются свойства кратчайших, строение их окрестностей. Полученные результаты вполне аналогичны двумерному случаю. В частности, исследовано построение, подобное одному специальному случаю вырезания двуугольников из двумерной развертки: показано, что кратчайшие, соединяющие внутреннюю точку развертки с точками границы, образуют в совокупности конечный набор тетраэдров, которые склеиваются в “трехмерный конус” после вырезания из развертки “остального материала”.
Рисунков: 11.
Библиография: 9 названий.