О средних и лапласиане функций на гильбертовом пространстве

В книге П. Леви “Конкретные проблемы функционального анализа” вводится понятие среднего $M(f,a,\rho)$ функции $f(x)$ на гильбертовом пространстве по сфере радиуса $\rho$ с центром в точке $a$ и исследуются свойства лапласиана
$$ Lf(a)=\lim_{\rho\to0}\frac{M(f,a,\rho)-f(a)}{\rho^2}. $$
Какие функции обладают средними, у Леви не выяснено. Кроме того, среднее $M(f,a,\rho)$ и лапласиан $Lf(a)$, вообще говоря, не инвариантны относительно вращений вокруг точки $a$.
В данной работе указывается класс функций, обладающих инвариантными средними в области гильбертова пространства. Таким классом является множество функций $f(x)$, у которых $f(x)=\gamma(x)I+T(x)$, где $\gamma(x)$ – равномерно непрерывная обладающая инвариантными средними функция, $I$ – единичный оператор, $T(x)$ – симметричный впоне непрерывный оператор, модули ненулевых собственных чисел которого $\lambda_j(x)$, расположенные в убывающем порядке, обладают следующим свойством: $\frac1n\sum_{i=1}^n\lambda_i(x)\to0$ равномерно по $x$ (§ 3). Инвариантное среднее такой функции существует и выражается формулой
$$ M(f,x,r)=f(x)+\int_0^r\rho M(\gamma,x,\rho)\,d\rho, $$
а лапласиан $Lf(a)=\frac{\gamma(a)}2$. В § 4 рассматриваются задачи Дирихле и Пуассона для шара и указываются условия, достаточные для того, чтобы решение выражалось по формулам Леви.
Библиография: 7 названий.