Дефект допустимых шаров и октаэдров в решетке и системы общих представителей

Рассмотрим репер ${\mathscr E}=O\,\mathbf e_1,\dots ,\mathbf e_n$, состоящий из координатных ортов, решетку $\Lambda \subset \mathbb R^n$ такую, что ${\mathbb Z}^n\subset \Lambda$, единичный октаэдр ${\mathscr O}_{\mathscr E}^n$ и единичный шар ${\mathscr B}_{\mathscr E}^n$. Множество $\Omega \in \{{\mathscr O}_{\mathscr E}^n,{\mathscr B}_{\mathscr E}^n\}$ назовем допустимым в $\Lambda$, если $\Omega \cap \Lambda =\{O,\pm \mathbf e_1,\dots ,\pm \mathbf e_n\}$. Дефектом $d(\Omega;\Lambda)$ допустимого в $\Lambda$ множества $\Omega$ относительно $\Lambda$ назовем минимальное число векторов, которые необходимо удалить из ${\mathscr E}$, чтобы оставшаяся система была дополнима до базиса в $\Lambda$. Положим $d_n(\Omega)=\max _\Lambda d(\Omega;\Lambda )$ и $d_n^*(\Omega)=\max _\Lambda ^*d(\Omega;\Lambda )$, где в первом случае максимум берется по всем $\Lambda$, а во втором случае по таким $\Lambda$, что $\Lambda /{\mathbb Z}^n$ – циклическая группа. В работе показано, что $d_n^*(\Omega)\gg \frac n{\log n}(\log \log n)^2$, $d_n(\Omega)\geqslant n-c\frac n{\log n}$, где $c$ – абсолютная константа. Результаты получены с помощью методов геометрии чисел и комбинаторики.
Библиография: 7 названий.