Функции с данной оценкой $\partial f/\partial\overline z$ и теорема Н. Левинсона

В работе показывается, что дважды непрерывно дифференцируемая функция $\varphi$ на единичной окружности с коэффициентами Фурье $\{\widehat\varphi(n)\}$ допускает непрерывно дифференцируемое продолжение $f$ на всю плоскость такое, что
$$ \frac{\partial f}{\partial \overline z}=O[h(|1-|z||)] $$
(здесь $h$ – заданный вес, $h(+0)=0$), если только
$$ \varphi(n)=O(n^{-1}a_n),\qquad a_n=\int_0^1h(r)(1-r)^{|n|}\,dr,\quad n=0,\pm1,\pm2,\dots\,. $$

Если $\int_0\ln\ln\frac1{h(r)}\,dr<+\infty$, то класс таких функций $\varphi$ оказывается неквазианалитическим. Отсюда выводится новое доказательство известной теоремы Н. Левинсона о нормальности семейств аналитических функций.
Библиография: 7 названий.