Аналог одной теоремы Титчмарша для преобразования Фурье–Уолша

Для операторов Харди
$$ \mathscr H(f)(x)=\int_x^{+\infty}\frac{f(y)}y\,dy, \qquad x>0 $$
и Харди–Литлвуда
$$ \mathscr B(f)(x)=\frac1x\int_0^xf(y)\,dy, \qquad x>0 $$
в монографии Е. Титчмарша “Введение в теорию интегралов Фурье” (1948 г.) для функций класса $L^2(\mathbb R_+)$ доказаны равенства
$$ \mathscr H(\hat f_c)=\widehat {\mathscr B(f)}_c, \qquad \mathscr B(\hat f_c)=\widehat {\mathscr H(f)}_c, $$
где $\hat f_c$ – косинус-преобразование Фурье функции $f$.
В данной работе доказываются аналогичные равенства для функций класса $L^p(\mathbb R_+)$, $1<p\leqslant 2$, и преобразования Фурье–Уолша.
Библиография: 11 названий.