|
О плотности начальных данных Коши решений эллиптических уравнений
В. И. Войтинский
Аннотация:
В работе рассматривается вопрос, связанный с задачей Коши для линейных эллиптических уравнений.
Пусть $G$ – ограниченная область $E_n$, $\Gamma$ – ее граница. В $G$ рассматривается эллиптическое уравнение
\begin{gather*}
\mathscr Lu(x)=\sum_{|\mu|\leqslant 2m}a_\mu(x)D^\mu u(x)=0
\tag{1}\\
\biggl(\mu=(\mu_1,\dots,\mu_n);\quad|\mu|=\mu_1+\dots+\mu_n;\quad
D^\mu=D_1^{\mu_1}\cdots D_n^{\mu_n},\quad D_k=-i\frac\partial{\partial x_k}\biggr),
\end{gather*}
где $\mathscr L$ – правильно эллиптическое выражение с комплексными
коэффициентами. Пусть $\Gamma_1$ – кусок поверхности $\Gamma$. Коэффициенты
выражения $\mathscr L$, поверхность $\Gamma$ и граница $\Gamma_1$
предполагаются бесконечно гладкими. Речь идет о задаче Коши на $\Gamma_1$ с начальными условиями $\{\partial^{j-1}u/\partial\nu^{j-1}|_{\Gamma_1}=f_j\}$, $j=1,\dots,2m$, где через $\nu$ обозначено направление нормали к $\Gamma$. В работе
доказывается, что при сделанных предположениях множество начальных данных Коши
решений (1) из $H^l(G)$ плотно в $\sum_{j=1}^{2m}H^{l-j+1/2}(\Gamma_1)$ для любого
целого $l\geqslant2m$, если для формально сопряженного оператора $\mathscr L^+$ имеет место единственность задачи Коши, что будет, например, при отсутствии кратных комплексных характеристик у $\mathscr L$.
Кроме того, в работе указаны условия, при которых аналогичный факт имеет место для некоторых эллиптических систем.
Библиография: 4 названия.
Поступила в редакцию: 16.06.1970
Образец цитирования:
В. И. Войтинский, “О плотности начальных данных Коши решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 85(127):1(5) (1971), 132–139; V. I. Voitinskii, “Density of Cauchy initial data for solutions of elliptic equations”, Math. USSR-Sb., 14:1 (1971), 131–139
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm3181 https://www.mathnet.ru/rus/sm/v127/i1/p132
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 242 | PDF русской версии: | 69 | PDF английской версии: | 26 | Список литературы: | 53 |
|