Выпуклые функции, связанные с вариационными задачами и проблема абсолютного минимума

Для задачи о минимуме функционала $\int_{(a,\,x^0)}^{(b,\,x^1)}f(t,x(t),\dot x(t))\,dt$ (где $f(t,x,u)\colon T\times R^n\times R^n\to(-\infty,\infty)$, случай $f=\infty$ соответствует ограничениям на $x$ и $u$) рассматривается проблема существования функции $\varphi(t,x)\colon T\times\ R^n\to R$, обладающей следующим свойством: если $x_m(t)$ – минимизирующая последовательность, то для любых $a\leqslant\alpha<\beta\leqslant b$ и $x(t)$
\begin{multline*} \widetilde\varphi(\beta,x(\beta))-\varphi(\alpha,x(\alpha))-\int_\alpha^\beta f(t,x(t),\dot x(t))\,dt\\ \leqslant\varliminf\biggl[\varphi(\beta,x_m(\beta))-\varphi(\alpha,x_m(\alpha))-\int_\alpha^\beta f(t,x_m(t),\dot x_m(t))\,dt\biggr] \end{multline*}
(каждая функция $\varphi$ с этим свойством дает некоторое необходимое условие абсолютного минимума). Доказываются критерии существования произвольной и непрерывной функции $\varphi$.
Библиография: 9 названий.