Оценка объема области в римановом пространстве

В $n$-мерном римановом пространстве рассматривается компактная область неотрицательной кривизны со строго выпуклой границей. Пусть $V$ – объем такой области, $S$ – площадь ($(n-1)$-мерный объем) ее границы, $k_1\geqslant0$ – нижняя граница двумерных кривизн в области, $r$ – радиус вписанного шара. Доказывается оценка $V\geqslant\frac1nSr$. В случае $k_1>0$ устанавливается, что $r<\pi/ \sqrt{k_1}$ и верна более точная оценка
$$ V\geqslant\frac S{\sin^{n-1}r\sqrt{k_1}}\int_0^r{\sin^{n-1}t\sqrt{k_1}\,dt}. $$

В обеих оценках имеет место равенство, если рассматриваемая область – шар в пространстве постоянной кривизны $k_1\geqslant0$.
Рисунков: 5.
Библиография: 12 названий.