Прямые и обратные теоремы в задачах о приближении по векторам конечной степени

Пусть линейный оператор $A$ действует в комплексном банаховом пространстве $X$, имеет область определения $\mathfrak D(A)$ и непустое резольвентное множество. Элемент $g\in \mathfrak D_\infty (A):=\bigcap _{j=0,1,\dots }\mathfrak D(A^j)$ называется вектором степени не выше $\zeta (>0)$ относительно $A$, если $\|A^jg\|_X\leqslant c(g)\zeta ^j$, $j=0,1,\dots $ . Множество векторов степени не выше $\zeta$ обозначается через $\mathfrak G_\zeta (A)$ и определяется величина $E_\zeta (f,A)_X=\inf _{g\in \mathfrak G_\zeta (A)}\|f-g\|_X$, которая в работе оценена сверху через $K$-функционал $K\bigl (\zeta ^{-r},f;X,\mathfrak D(A^r)\bigr ) =\inf _{g\in \mathfrak D(A^r)}\bigl (\|f-g\|_X+\zeta ^{-r}\|A^rf\|_X\bigr )$ (прямая теорема). Установлена оценка сверху этого $K$-функционала через $E_\zeta (f,A)_X$ и $\|f\|_X$ (обратная теорема). Полученные в работе оценки позволили в терминах $E_\zeta (f,A)_X$ дать необходимые и достаточные условия справедливости следующих утверждений: 1) $f\in \mathfrak D_\infty (A)$; 2) ряд $e^{zA}f:=\sum _{r=0}^\infty (z^rA^rf)/(r!)$ сходится в некотором круге; 3) ряд $e^{zA}f$ сходится во всей комплексной плоскости. Через $E_\zeta (f,A)_X$ вычислен порядок роста и указан тип целой функции $e^{zA}f$.
Библиография: 25 названий.