Метод Шефера в теории интегральных уравнений Гаммерштейна

Изучается интегральное уравнение Гаммерштейна
\begin{equation} x(t)=\int_\Omega k(t,s)f[s, x(s)]\,dt+g(t). \end{equation}
Предполагается, что линейный интегральный оператор $K$ с симметричным ядром $k(t,s)$ действует и вполне непрерывен в гильбертовом пространстве $H=L_2$. Далее, предполагается, что $E_0$ и $E$ ($E_0\subset E\subset H$) – идеальные пространства, для которых выполнены следующие условия: а) оператор $K$ действует из $E'_0$; б) собственные функции $K$ лежат в $E_0$; в) линейная оболочка собственных функций $K$ плотна в $E_0$ в смысле $o$-сходимости; г) оператор $K$ действует из $E_0$ в $E'_0$ (и вполне непрерывен); д) оператор $f$ действует из $E_0$ в $E'_0$ и преобразует ограниченные множества в $E_0$-слабо секвенциально компактные (действует из $E_0$ в $E'_0$). Доказывается, что в этих условиях в случае положительно определенного $K$ достаточным условием разрешимости уравнения (1) является неравенство
\begin{equation} uf(s,u)\leqslant au^2+\omega(s,u), \end{equation}
где $a\lambda<1$ ($\lambda$ – наибольшее собственное значение $K$), а $\omega(s,u)$ содержит члены, растущие на бесконечности слабее $u^2$.
Библиография: 10 названий.