Разрывные решения нелинейных смешанных задач для гиперболических уравнений на плоскости

В $\overline\Pi_{\frac12}=\{0\leqslant x\leqslant1,\ 0\leqslant t\leqslant\frac12\}$ рассматривается задача
\begin{gather} u_{xx}-u_{tt}=A_1(x,t,u)u_x+A_2(x,t,u)u_t+A_3(x,t,u), \\ u(x,0)=\varphi_0(x),\quad u_t(x,0)=\varphi_1(x)\quad\text{при}\quad0\leqslant x\leqslant1, \\ a_i(u)u_x+b_i(u)u_t=f_i(t,u)\quad\text{при}\quad x=i\enskip(i=0,1), \end{gather}
где $A_j, \varphi_i, a_i, b_i, f_i$ – достаточно гладкие функции, $h_0=b_0-a_0$ имеет только изолированные нули на $R^1$, $h_1=b_1+a_1$ не имеет нулей на $R^1$. Предполагается, что в $\Pi_{T^*}=\{0\leqslant x\leqslant1,\ 0\leqslant t<T^*\}$, $0<T^*<\frac12$, существует решение $\mathring u\in C_2(\Pi_{T^*})$ задачи (1)–(3), $\sup|\mathring u|<\infty$, $|h_0(\mathring u(0,t))|>0$ при $0\leqslant t<T^*$, $\inf_{0\leqslant t<T^*}|h_0(\mathring u(0,t))|=0$. Доказывается, что $\mathring u\in C(\overline\Pi_{T^*})$, $\mathring v=\mathring u_x+\mathring u_t\in C(\overline\Pi_{T^*})$ и, если $\Gamma_0=f_0(T^*, u(0,T^*))-a_0(\mathring u(0,T^*))\mathring v(0,T^*)\ne0$, то в $\overline\Pi_T$ при любом $T^*<T\leqslant\frac12$ не существует даже непрерывных обобщенных решений задачи (1)–(3). Для случая $\Gamma_0\ne0$ вводится определение и устанавливаются теоремы существования и единственности разрывного решения задачи (1)–(3) в $\overline\Pi_{\frac12}$.
Библиография: 9 названий.