Действия алгебр Хопфа

Рассматривается действие конечномерной алгебры Хопфа $H$ на некоммутативной ассоциативной алгебре $A$. Изучаются свойства подалгебры инвариантов $A^H$ в $A$. Доказывается, что если $A$ цела над своим центром $\mathrm Z(A)$, то в каждом из трех случаев $A$ будет цела над $\mathrm Z(A)^H$ (подалгеброй инвариантов в $\mathrm Z(A)$):

• 1) корадикал $H_0$ кокоммутативен и $\operatorname {char}k=p>0$,
• 2) $H$ точечна, $A$ – без нильпотентных элементов, $\mathrm Z(A)$ – аффинная алгебра и $\operatorname {char}k=0$,
• 3) $H$ кокоммутативна.

Также рассматривается действие коммутативной алгебры Хопфа $H$ на произвольной ассоциативной алгебре, в частности, каноническое действие $H$ на тензорной алгебре $T(H)$. С применением развитой техники доказывается структурная теорема об алгебрах Хопфа. А именно, всякая коммутативная конечномерная алгебра Хопфа $H$, корадикал $H_0$ которой является подалгеброй Хопфа или кокоммутативен и $\operatorname {char}k=0$ или $>\dim H$, кополупроста, т.е. $H=H_0$. В частности, коммутативная точечная алгебра Хопфа с $\operatorname {char}k=0$ или $>\dim H$ будет групповой алгеброй Хопфа. Также строится пример, показывающий, что ограничения на $\operatorname {char}k$ существенны.
Библиография: 15 названий.