О числе подстановок специального вида

Показывается, что число подстановок $a$, для которых уравнение $x^k=a$, где $a\in S_n$ ($S_n$ – симметрическая группа подстановок степени $n$), $k<1$ – фиксированное натуральное число, имеет по крайней мере одно решение $x\in S_n$, асимптотически равно
$$ C(k)n^{\varphi(k)/k-1/2}\biggl(\frac ne\biggr)^n\quad\text{при}\quad n\to\infty, $$
где $C(k)$ – постоянная, зависящая только от $k$, $\varphi(k)$ – функция Эйлера.
Библиография: 4 названия.