Аннотация:
В статье даются оценки типа слабых эквивалентностей при $n\to\infty$ для наименьших уклонений $L_pR_n(f,[-1,1])$ функций $f(x)=x^s\operatorname{sign}x$ ($s=0,1,\dots$) в метриках $L_p[-1,1]$ ($1\leqslant p\leqslant\infty$) от рациональных функций степени $\leqslant n$ ($n=1,2,\dots$). Именно, показывается, что
$$
L_pR_n(x^s\operatorname{sign}x,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\biggl\{-\pi\sqrt{\Biggl(s+\frac1p\biggr)n}\Biggr\}
$$
($s\ne0$ при $p=\infty$); в частности,
\begin{gather*}
L_pR_n(\operatorname{sign}x,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\Biggl\{-\pi\sqrt{\frac np}\Biggr\}\qquad(1\leqslant p<\infty),
\\
L_pR_n(|x|,[-1,1])\asymp n^\frac1{2p}\exp\Biggl\{-\pi\sqrt{\biggl(1+\frac1p\biggr)n}\Biggr\}\qquad(1\leqslant p\leqslant\infty).
\end{gather*}
Образец цитирования:
Н. С. Вячеславов, “О наименьших уклонениях функции $\operatorname{sign}x$ и ее первообразных от рациональных функций в метриках $L_p$, $0<p\leqslant\infty$”, Матем. сб., 103(145):1(5) (1977), 24–36; N. S. Vyacheslavov, “On the least deviations of the function $\operatorname{sign}x$ and its primitives from the rational functions in the $L_p$ metrics, $0<p\leqslant\infty$”, Math. USSR-Sb., 32:1 (1977), 19–31
\RBibitem{Vya77}
\by Н.~С.~Вячеславов
\paper О наименьших уклонениях функции $\operatorname{sign}x$ и~ее первообразных от рациональных функций в~метриках $L_p$, $0<p\leqslant\infty$
\jour Матем. сб.
\yr 1977
\vol 103(145)
\issue 1(5)
\pages 24--36
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm2709}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=445174}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0355.41018|0392.41005}
\transl
\by N.~S.~Vyacheslavov
\paper On the least deviations of the function $\operatorname{sign}x$ and its primitives from the rational functions in the $L_p$~metrics, $0<p\leqslant\infty$
\jour Math. USSR-Sb.
\yr 1977
\vol 32
\issue 1
\pages 19--31
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM1977v032n01ABEH002313}
\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=A1977GE09700002}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm2709
https://www.mathnet.ru/rus/sm/v145/i1/p24
Эта публикация цитируется в следующих 15 статьяx:
Т. С. Мардвилко, “Равномерная рациональная аппроксимация нечетного и четного преобразований Коши”, Матем. сб., 216:2 (2025), 110–127
P. G. Patseika, “On estimates of uniform approximations of some classes of functions by the Fourier – Chebyshev rational integral operator”, Vescì Akademìì navuk Belarusì. Seryâ fizika-matematyčnyh navuk, 61:1 (2025), 7
Т. С. Мардвилко, “Равномерная рациональная аппроксимация четного и нечетного продолжений функций”, Матем. заметки, 115:2 (2024), 257–265; T. S. Mardvilko, “Uniform Rational Approximation of Even and Odd Continuations of Functions”, Math. Notes, 115:2 (2024), 215–222
E. A. Rovba, V. Yu. Medvedeva, “Rational interpolation of the function |x|α by an extended system of Chebyshev – Markov nodes”, Vescì Akademìì navuk Belarusì. Seryâ fizika-matematyčnyh navuk, 55:4 (2020), 391
Dietrich Braess, Wolfgang Hackbusch, Multiscale, Nonlinear and Adaptive Approximation, 2009, 39
А.-Р. К. Рамазанов, “Рациональная аппроксимация со знакочувствительным весом”, Матем. заметки, 60:5 (1996), 715–725; A. K. Ramazanov, “Rational approximation with sign-sensitive weight”, Math. Notes, 60:5 (1996), 536–543
Braess D., “Asymptotics for the Approximation of Wave-Functions by Exponential-Sums”, J. Approx. Theory, 83:1 (1995), 93–103
А.-Р. К. Рамазанов, “Рациональная аппроксимация функций конечной вариации в метрике Орлича”, Матем. заметки, 54:2 (1993), 63–78; A.-R. K. Ramazanov, “Rational approximation of functions with finite variation in the Orlicz metric”, Math. Notes, 54:2 (1993), 811–820
А. Л. Левин, Э. Б. Сафф, “Обобщение неравенства Гончара для рациональных функций на случай метрики $L_p$”, Матем. сб., 183:6 (1992), 97–110; A. L. Levin, E. B. Saff, “$L_p$ extensions of Gonchar's inequality for rational functions”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 76:1 (1993), 199–210
Г. Шталь, “Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации $|x|$ на $[-1,1]$”, Матем. сб., 183:8 (1992), 85–118; H. Stahl, “Best uniform rational approximation of $|x|$ on $[-1,1]$”, Russian Acad. Sci. Sb. Math., 76:2 (1993), 461–487
Varga R., “How High-Precision Calculations Can Stimulate Mathematical Research”, Appl. Numer. Math., 10:3-4 (1992), 177–193
Vjacheslavov N., “Rational Approximation in Weighted Spaces on a Line”, Vestn. Mosk. Univ. Seriya 1 Mat. Mekhanika, 1985, no. 5, 3–10
Н. С. Вячеславов, “Об аппроксимации $x^\alpha$ рациональными функциями”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:1 (1980), 92–109; N. S. Vyacheslavov, “On the approximation of $x^\alpha$ by rational functions”, Math. USSR-Izv., 16:1 (1981), 83–101
Ramazanov A., “Rings of the Coefficients of Rational Functions and Polynomials Best Approximating Functions Chi-Alpha”, Vestn. Mosk. Univ. Seriya 1 Mat. Mekhanika, 1980, no. 5, 41–44
Н. С. Вячеславов, “Скорость аппроксимации кусочно-аналитических функций рациональными дробями в метриках $L_p$, $0<p\leqslant\infty$”, Матем. сб., 108(150):2 (1979), 219–228; N. S. Vyacheslavov, “Rate of approximation of piecewise-analytic functions by rational fractions in the $L_p$-metrics, $0<p\leqslant\infty$”, Math. USSR-Sb., 36:2 (1980), 203–212
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: