Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка

Исследуется поведение при больших значениях времени решения $u(t,x)$ в неограниченной области $\Omega\subset R_n$ первой смешанной задачи для параболического уравнения
\begin{gather} u_t=(a_{ij}(t,x)u_{x_j})_{x_i},\qquad(t,x)\in(t>0)\times\Omega,\\ \gamma^{-1}|y|^2\leqslant a_{ij}(t,x)y_iy_j\leqslant\gamma|y|^2, \end{gather}
с начальной функцией $\varphi$, $\operatorname{supp}\varphi\subset K_{R_0}$, $K_r=\{|x|<r\}$. Показано, что функция $\lambda(r)$, являющаяся при каждом фиксированном $r$ первым собственным значением задачи Дирихле для оператора $-\Delta$ в $\Omega_r=\Omega\cap K_r$, определяет для некоторого класса областей скорость стремления к нулю решения $u(t,x)$ при $t\to\infty$. А именно, пусть $r(t)$ – функция, обратная к монотонно возрастающей функции $F(r)=r/\sqrt{\lambda(r)}$. Тогда для всех $t\geqslant T$ и $x$ из $\Omega$ выполнено неравенство
\begin{equation} |u(t,x)|\leqslant M\exp\biggl(-\varkappa\,\frac{r^2(t)}t\biggr)\|\varphi\|_{L_2(\Omega)}. \end{equation}
Здесь постоянная $\varkappa$ зависит только от $n$ и $\gamma$ из (2), а $T$ и $M$ – от $\Omega$, $\gamma$ и $R_0$. Доказано, что для некоторого класса областей оценка (3) в определенном смысле неулучшаема.
Библиография: 13 названий.