Изометрические погружения областей $n$-мерного пространства Лобачевского в $(2n-1)$-мерное эвклидово пространство

В работе рассматриваются регулярные подмногообразия эвклидова пространства $E^N$. Доказывается, что если $R^m$ – подмногообразие отрицательной кривизны в $E^N$ и в каждой точке существуют $m$ главных направлений, то существуют ортогональные им гиперповерхности в $R^m$. Их можно принять за координатные. Далее, рассматриваются общие свойства изометрического погружения $n$-мерного пространства Лобачевского $L^n$ в $E^{2n-1}$. Доказывается, что для любого $k$-мерного подмногообразия в $L^n\subset E^{2n-1}$ при $k\geqslant2$ и $n>2$ $k$-мерный объем его образа в $G_{n-1,2n-1}$ при грассмановом отображении $L^n$ больше, чем объем прообраза. Кривизна $\overline K$ грассманова многообразия $G_{n-1,2n-1}$ для площадок, касательных к грассманову образу $L^n$, лежит в открытом интервале $(0,1)$. Получена формула для кривизны грассманова многообразия для площадок, касательных к грассманову образу произвольного подмногообразия в $E^N$, выраженная через вторые квадратичные формы этого подмногообразия.
Изучается основная система уравнений погружения $L^n$ в $E^{2n-1}$. Рассмотрены погружения $L^3$ в $E^5$, при которых одно семейство линий кривизны составлено из геодезических линий $L^3$.
Библиография: 15 названий.