Локальная эргодическая теорема для групп унитарных операторов и стационарных процессов второго порядка

Пусть $(U_t)^\infty_{-\infty}$ – сильно непрерывная группа унитарных операторов в пространстве $L_2(X,S,\mu)$, где $\mu$ – $\sigma$-конечная мера.
Локальной эргодической теоремой называется соотношение
\begin{equation} \lim_{t\to0}\frac1t\int^t_0(U_\tau f)(x)\,d\tau=f(x)\quad \text{п.\,в.} \end{equation}
для $f\in L_2(X)$. Показано, что это соотношение выполнено не для всех $f\in L_2(X)$ и $\{U_t\}$. Получены необходимые и достаточные условия для локальной эргодической теоремы, выраженные через свойства спектральной меры $\{E(d\lambda)f\}$, где $\{E(d\lambda)\}$ – разложение единицы, отвечающее группе $(U_t)$. В частности, равенство (1) выполнено, если сходится интеграл
$$ \int^\infty_{-\infty}[\log\log(\lambda^2+2)]^2\cdot\|E(d\lambda)f\|^2. $$
Приводятся обобщения на многопараметрические группы и однородные случайные поля.
Библиография: 10 названий.