Локализация идеалов и асимптотические теоремы единственности для функций с ограничениями на рост

Пусть $\mathbf D=\{z\in\mathbf C:|z|<1\}$, $U_\varphi(\mathbf D)$ – множество всех субгармонических в $\mathbf D$ функций $u$, для которых $u(z)<C_u\varphi(1/(1-|z|))$, $A_\varphi(\mathbf D)$ – алгебра всех аналитических в $\mathbf D$ функций $f$, для которых $\log|f(z)|<C_f\varphi(1/(1-|z|))$.
При известных ограничениях правильности роста функции $\varphi$ доказаны
Теорема 1. Если $\gamma$ – непрерывная кривая в $\mathbf D$, выходящая к окружности $\partial\mathbf D$ (т.е. $\gamma\cap\partial\mathbf D\ne\varnothing$), и
$$ \varlimsup_{z\in\gamma,|z|\to1}\frac{u(z)}{\varphi^*(1/(1-|z|))}=-\infty, $$
то $u\equiv-\infty$.
Здесь $\varphi^*(t)=t\bigl(\int_1^t(\varphi(x)/x^3)^{1/2}\,dx\bigr)^2$ при $a_\varphi\leqslant1$ и $\varphi^*=\varphi$ при $1<a_\varphi\leqslant+\infty$, $a_\varphi=\lim_{x\to\infty}\varphi'(x)x/\varphi(x)$.
Теорема 2. {\it Для того чтобы каждый замкнутый идеал алгебры $A_\varphi(\mathbf D)$ был дивизориальньм, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\int_1^\infty(\varphi(x)/x^3)^{1/2}\,dx=+\infty$.}
Здесь дивизориальность идеала $I$ означает, что $I=\{f\in A_\varphi(\mathbf D):k_f\geqslant k_I\}$, где $k_f(\xi)$ – кратность нуля функции $f$ в точке $\xi$, $k_I(\xi)=\min_{f \in I}k_f(\xi)$.
Рисунков: 5.
Библиография: 33 названия.