Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма–Лиувилля на конечном отрезке

Рассмотрим спектральную задачу ($0<x<1$):
$$ -y''(x)=\lambda\rho (x)y(x);\quad y(0)=y(1)=0;\quad \rho(x)>0;\quad \rho(x)\in C_{[0,1]}. $$

Пусть $\lambda_n(\rho)$ и $u_n(x,\rho)$ ($n\in N$) – собственные числа и соответствующие им нормированные в $L_2(0,1;\rho)$ собственные функции.
Теорема. Справедливы следующие утверждения:
1. {\it Если непрерывная на $[0,1]$ весовая функция $\rho(x)>0,$ то
$$ \lim\lambda_n^{-1/4}(\rho)\max_{0\le x\le1}|u_n(x,\rho)|=0\qquad(n\to\infty). $$

$2.$ Для любого $\varepsilon>0$ существует непрерывный вес $\rho_0(x,\varepsilon)>0$ ($x\in[0,1]$) такой$,$ что
$$ \varlimsup\lambda_n^{-1/4+\varepsilon}(\rho_0)|u_n(1/2,\rho_0)|=0\qquad(n\to\infty). $$
}
Библиография: 17 названий.