Сингулярное интегральное уравнение с малым параметром на конечном отрезке

В работе исследуются асимптотические свойства сингулярного интегрального уравнения
\begin{equation} \int_0^1\biggl[\frac1{x-t}+a(x-t,\varepsilon)\biggr]u_\varepsilon(t)\,dt =f(t), \end{equation}
где $\varepsilon>0$ – малый параметр, $f(x)\in C^\infty[0,1]$. Уравнение (1) рассматривается как краевая задача для одномерного эллиптического псевдодифференциального оператора с кусочно гладким символом. Типичным примером символа служит функция $\widetilde a(\lambda,\varepsilon)=\pi i\operatorname{sign}\lambda[1+e^{-\varepsilon|\lambda|}]$, соответствующая уравнению теории дислокаций.
Асимптотическое разложение решения уравнения (1) содержит функции типа пограничного слоя, зависящие от переменных $\xi=\frac x\varepsilon$, $\eta=\frac{1-x}\varepsilon$, и убывающие на бесконечности степенным образом. Согласование погранслойного разложения с внешним разложением (в переменной $x$) происходит путем специального двухмасштабного представления интегралов вида (1), где вместо функции $u_\varepsilon(x)$ стоят уже построенные члены ее асимптотического ряда.
Библиография: 10 названий.