Существование оптимальных квадратурных формул с заданными кратностями узлов

Пусть $R_p(\overline x)$ – погрешность наилучшего метода интегрирования в классе $W^r_p[a,b]$ при узлах $(x_k)_1^n$ с кратностями $(\nu_k)_1^n$, т.е. при $\overline x=\{(x_1,\nu_1),\dots,(x_n,\nu_n)\}$. Показано, что при $1<p<\infty$ для каждой системы кратностей $(\nu_k)_1^n$, удовлетворяющей неравенствам $1\leqslant\nu_k\leqslant r$, $k=1,\dots,n$,
$$ \inf\bigl\{R_p(\overline x)\mid\overline{x}=\{(x_1,\nu_1),\dots,(x_n,\nu_n)\},\,a\leqslant x_1<\dots<x_n\leqslant b\bigr\} $$
достигается для узлов $(x_k^*)_1^n$ с теми же кратностями $(\nu_k)_1^n$. При этом $a< x_1^*$ и $x_n^*<b$.
Библиография: 20 названий.