Приближение выпуклых функций с заданным модулем непрерывности рациональными функциями

Обозначим через $R_n[f]$ наименьшее уклонение непрерывной функции $f(x)$, $x\in[a,b]$, от рациональных функций порядка не выше $n$.
В работе доказываются следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть $f(x)$ выпукла на $[a,b]$ $(-\infty<a<b<+\infty)$ и имеет модуль непрерывности $\omega(\delta,f)\leqslant\omega(\delta)$. Тогда
$$ R_n[f]\leqslant c\frac{\ln^6n}{n^2}\max_{(b-a)e^{-n}\leqslant\theta\leqslant b-a}\biggl\{\omega(\theta)\ln\frac{b-a}\theta\biggr\},\qquad n=2,3,\dots, $$
где $c$ – абсолютная постоянная.
\medskip Теорема 2. Существуют выпуклая функция $f^*(x)$ и последовательность $n_k\nearrow\infty$ такие, что 1) $\omega(\delta,f^*)\leqslant(\ln(e/\delta))^{-\gamma}$, $0<\delta\leqslant1$, 2) $R_{n_k}[f^*]\geqslant c_1\gamma/n^{1-\gamma}_k$, где $c_1$ – абсолютная постоянная.
Библиография: 8 названий.