Квазирегулярность и примитивность относительно правых идеалов кольца

Пусть $R$ – ассоциативное кольцо и $P$ – правый идеал в $R$, т.е. $P\lhd R_R$. Элемент $q\in R$ квазирегулярен относительно $P$, если $q+t-qt\in R$ для подходящего $t\in R$. Правый идеал $Q$ квазирегулярен относительно $P$, если все элементы из $Q$ квазирегулярны относительно $P$. Если $M,P\lhd R_R$, то положим:
$$ \lambda (M,P)=\{r\in R\mid rP\subseteq M\},\qquad M:P=\{r\in R\mid Pr\subseteq M\}. $$

Теорема 1. {\it Пусть $P\lhd R_R$. Тогда сумма $(R,P)$ всех правых идеалов квазирегулярных относительно $P$ сама квазирегулярна относительно $P,$ причем $\mathscr J(R,P)=\bigcap\{M:\lambda (M,P)\mid M$ – максимальный модулярный правый идеал в $R,M\supseteq P\}$.}
Скажем, что $P$ – примитивный правый идеал кольца $R$, если существует такой максимальный модулярный правый идеал $M$, что $P=M:\lambda(M,P)$. Если $P=0$, то $0=M:R$ и потому кольцо $R$ примитивно.
Теорема плотности. {\it Пусть $P$ – примитивный правый идеал кольца $R$ и $M$ – любой из соответствующих ему максимальных$,$ модулярных правых идеалов$,$ т.е. $P=M:\lambda(M,P)$. Пусть неприводимый правый $R$-модуль $\mathfrak M=R/M$ превращен в линейное пространство $_\Delta\mathfrak M$ над телом $\Delta =\lambda(M,M)/M\cong\operatorname{End}(\mathfrak M)$. Тогда для любого непустого конечного линейно независимого подмножества $\{i_j\mid1\leqslant j\leqslant k\}$ линейного подпространства $\lambda(M,P)/M=_\Delta\mathfrak B$ и любого другого подмножества $\{n_j\mid1\leqslant j\leqslant k\}$ в $_\Delta\mathfrak M$ всегда найдется элемент $r\in R$ такой$,$ что $1\leqslant j\leqslant k\ \Rightarrow\ n_j=i_jr$.}
Нетрудно видеть, что при $P=0$ теорема 1 превращается в известную характеристику радикала Джекобсона, а вторая теорема – в обычную теорему плотности Джекобсона–Шевалле о примитивных кольцах.
Библиография: 4 названия.