Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка в нецилиндрической области

В работе исследуется поведение при больших значениях времени $t$ решения третьей смешанной задачи в расширяющейся при возрастании $t$ нецилиндрической области $D\subset\mathbf R^{n+1}$ для линейного параболического уравнения второго порядка в самосопряженной форме без младших членов. При этом граничное условие подбирается таким образом, чтобы был справедлив “закон сохранения энергии”. Для весьма широкого класса областей выделяется простая геометрическая характеристика области – функция $V(t,\sqrt t)=\operatorname{mes}_n(D_t\cap\{|x|<\sqrt t\})$, где $D_t$ – сечение области $D$ гиперплоскостью $t=\operatorname{const}$, определяющая скорость стабилизации решения. А именно, для решения $u(t,x)$ указанной задачи с начальной функцией $\varphi$ из $L_1(D_0)$ доказана оценка
$$ \|u(t,x)\|_{L_\infty(D_t)}\leqslant\frac C{V(t,\sqrt t)}\|\varphi\|_{L_1(D_0)},\qquad t>0, $$
причем эта оценка точна по порядку стремления к нулю при $t\to\infty$.
Библиография: 6 названий.