Критерий поточечной стабилизации для параболических уравнений второго порядка с почти-периодическими коэффициентами

Рассматривается задача Коши
$$ \frac{\partial u}{\partial t}-\frac\partial{\partial x_i}\biggl(a_{ij}(x,t)\frac\partial{\partial x_j}u\biggr)=0,\qquad u\big|_{t=0}(x)\in\mathscr L^\infty(\mathbf R^n), $$
для параболического уравнения с почти-периодическими на $\mathbf R^{n+1}$ коэффициентами $a_{ij}(x_1,x_2,\dots,x_n,t)$. Устанавливается необходимое и достаточное условие на начальную функцию $u_0(x)$, при котором решение $u(x,t)$ стабилизируется, т.е. $u(x,t)\to\lambda$ при $t\to\infty$. Это условие состоит в существовании среднего значения
$$ \lambda=\lim_{T\to\infty}T^{-n}\gamma^{-1}\int_{(\widehat A^{-1}x,x)\leqslant T^2}u_0(x)\,dx, $$
где $\widehat A=\{\widehat a_{ij}\}$ есть матрица коэффициентов “усредненного” уравнения, $\gamma$ – объем эллипсоида $(\widehat A^{-1}x,x)\leqslant1$.
Библиография: 16 названий.